机器学习数学基础入门：核心概念与必备公式详解

机器学习是数据科学的核心领域，其背后强大的理论基础深深植根于数学。理解这些数学概念不仅是掌握算法原理的关键，更能帮助我们在模型选择、调参和优化过程中做出明智的决策。线性代数、微积分、概率论与统计学共同构成了机器学习的数学基石。

线性代数：数据的骨架

线性代数为我们提供了描述和操作多维数据的语言。在机器学习中，数据集通常被表示为矩阵，其中的每一个特征向量都可以在高维空间中进行几何解释。

• 标量、向量与矩阵：标量是单一数值，向量是有序的数字列表，矩阵是二维数组。
• 矩阵乘法：若A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，则乘积C = AB是一个m×p矩阵，其中元素c_ij = Σ(a_ik * b_kj)，k从1到n。
• 转置与逆矩阵：矩阵A的转置记作A^T，满足A^T的(i,j)元素是A的(j,i)元素。可逆方阵A的逆矩阵A^(-1)满足AA^(-1) = I。

矩阵乘法的公式为：C = AB，其中c_ij = Σ(a_ik * b_kj)。特征值分解公式为：Av = λv，其中λ是特征值，v是对应的特征向量。

微积分：优化的引擎

微积分，特别是微分学，是理解机器学习模型如何从数据中“学习”的核心。通过计算导数，我们可以找到使损失函数最小化的参数更新方向。

导数衡量了函数输出随输入变化的瞬时速率。对于多元函数f(x₁, x₂, …, xₙ)，梯度∇f是一个向量，包含了函数在各个方向上的偏导数：∇f = [∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, …, ∂f/∂xₙ]。

链式法则是神经网络反向传播算法的理论基础，其公式为：若y = f(u)且u = g(x)，则dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。

梯度下降法的参数更新规则：θ_new = θ_old
η * ∇J(θ)，其中η是学习率，J(θ)是损失函数。

概率论与统计：不确定性的度量

概率论为处理数据中的不确定性和噪声提供了框架，而统计学则帮助我们利用数据做出推断和预测。

高斯分布（正态分布）的概率密度函数为：f(x) = (1/√(2πσ²)) * exp(-(x-μ)²/(2σ²))。

最优化理论：寻找最佳解

最优化理论为机器学习提供了找到模型最佳参数的系统方法。梯度下降及其变种是深度学习中最常用的优化算法。

• 批量梯度下降：使用整个训练集计算梯度，稳定但计算成本高。
• 随机梯度下降：每次使用一个样本计算梯度，速度快但震荡大。
• 小批量梯度下降：折中方案，每次使用一个小批量样本。

带有动量项的梯度下降更新规则：v_t = γv_(t-1) + η∇J(θ), θ = θ
v_t。其中γ是动量系数，通常设为0.9。

信息论：数据的量化

信息论提供了量化信息的方法，在特征选择、决策树和模型评估中有着广泛应用。熵衡量了随机变量的不确定性，其公式为：H(X) = -Σp(x)log₂p(x)。

交叉熵损失函数常用于分类问题，衡量两个概率分布之间的差异：H(p,q) = -Σp(x)log q(x)。KL散度则衡量一个分布与另一个分布的差异：D_KL(p||q) = Σp(x)log(p(x)/q(x))。

核心公式汇总与应用

掌握机器学习数学基础的关键在于理解这些公式背后的直观意义及其在具体算法中的应用。以下是一些最核心的公式：

• 线性回归：ŷ = wᵀx + b，损失函数MSE = (1/n)Σ(y_i
  ŷ_i)²
• 逻辑回归：P(y=1|x) = 1/(1+exp(-wᵀx))
• Softmax函数：P(y=j|x) = exp(w_jᵀx) / Σexp(w_kᵀx)
• 协方差矩阵：Σ = (1/n) * (X
  μ)ᵀ(X
  μ)

将这些数学工具融会贯通，能够为深入理解复杂机器学习模型和开展创新性研究打下坚实基础。