深度学习的数学基础知识完全解析

线性代数为深度学习提供了描述和操作数据的语言。在神经网络中，数据通常以向量和矩阵的形式表示。例如，一张灰度图像可以被表示为一个矩阵，而一个批次的图像则可以被表示为一个三维张量。

核心概念包括：

• 标量、向量、矩阵和张量：这些是数据的基本表示单位。标量是单个数字，向量是一维数组，矩阵是二维数组，而张量则是多维数组的泛化。
• 矩阵运算：矩阵的乘法是神经网络前向传播的基础。一个层的输出可以通过其权重矩阵与输入向量的乘积，再加上偏置向量来计算。
• 特征分解与奇异值分解（SVD）：这些方法用于理解矩阵的结构，在降维（如PCA）和理解模型动态中非常重要。

理解矩阵乘法、转置和逆等基本操作，是掌握神经网络如何传递和变换信息的第一步。

微积分：模型优化的引擎

微积分，特别是微分学，是训练神经网络的核心。它通过梯度下降算法指导模型参数如何更新，以最小化预测误差（即损失函数）。

关键知识点如下：

• 导数与偏导数：导数衡量函数输出随输入变化的瞬时变化率。在多元函数中，我们使用偏导数来衡量函数相对于其中一个变量的变化率，而保持其他变量不变。
• 梯度：梯度是一个向量，其分量是函数在所有坐标轴方向上的偏导数。它指向函数值增长最快的方向。
• 链式法则：这是反向传播算法的理论基础。由于神经网络是复合函数，链式法则允许我们将损失函数的梯度从输出层逐层反向传播至输入层，从而高效地计算每个参数的梯度。

概率论与信息论：不确定性的度量

深度学习模型需要对不确定性进行建模和推理。概率论提供了量化不确定性的框架，而信息论则提供了度量信息的方法。

主要内容包括：

• 概率分布：如高斯分布（正态分布）、伯努利分布和多项分布，常用于描述数据、噪声和模型输出。
• 最大似然估计：这是深度学习中最常用的参数估计方法。其核心思想是选择能使观测到的数据出现概率最大的模型参数。
• 熵与交叉熵：熵度量了概率分布的不确定性。交叉熵则度量了两个概率分布之间的差异，常被用作分类任务中的损失函数。

交叉熵损失函数是衡量模型预测概率分布与真实概率分布之间差距的利器。

优化理论：寻找最优解的艺术

优化理论旨在寻找使目标函数（如损失函数）最小化的参数。梯度下降是其最核心的算法。

函数与空间：模型的表达能力

深度学习可以看作是在一个复杂的函数空间中寻找一个能够最佳拟合数据的函数。

• 函数近似：万能近似定理指出，一个前馈神经网络只需一个足够大的隐藏层，就能以任意精度近似任何连续函数。
• 向量空间与范数：范数用于度量向量的大小，例如L2范数常用于正则化，以防止模型过拟合。

统计学基础：从数据中学习

统计学为深度学习提供了从数据中推断模式和规律的原理与方法。

偏差与方差：这是理解模型泛化误差的关键。偏差度量了模型的预测值与真实值的差距，方差度量了模型对数据波动的敏感性。深度学习的一个重要目标就是在这两者之间取得平衡。

过拟合与正则化：当模型在训练数据上表现很好，但在未见过的测试数据上表现很差时，就发生了过拟合。正则化技术（如L1/L2正则化、Dropout）通过给模型增加约束来减少过拟合风险。

数值计算：稳定与高效的保障

由于计算机的精度限制，数值计算中的稳定性至关重要。

• 数值上溢与下溢：当数字超出计算机所能表示的范围时发生，需要通过数学变换（如Softmax函数的优化实现）来避免。
• 条件数与病态问题：条件数大的矩阵在求逆或解方程时，输入数据的微小误差会导致输出的巨大误差，这在训练中是不稳定的来源。